Do Numbers Exist? — Mathematical Platonism and Nominalism — Epoche C2
場面設定： 数学的プラトン主義を擁護するソコロワ教授と唯名論を支持するケラー博士が、セミナーの終わった夕刻、黒板に「七は素数である」という一文と未回答の問いが残されたままの教室に二人だけで留まっている。 導入： 数学的対象の存在論的身分をいかに解すべきか。「七は素数である」という平明な真理を述べる際、我々はある対象を指示しているように見えるが、その対象は場所も因果的影響力も持たない。プラトン主義者は、数は人間の思考から独立して時空の外に実在する抽象的対象であると主張する。彼らにとって数学的真理とは発見されるべきものであり、我々の探究を制約する客観的実在に根ざしている。これに対し唯名論者は、そのような抽象的事物の存在を否定する。彼らは数学が科学にとって不可欠かつ客観的な道具であり続ける理由を、いかなる対象も要請せずに説明せねばならない。論争の核心は、算術の確実性が物の世界を必要とするのか、それとも規則の体系にすぎないのかという点にある。数とは実在の住人なのか、それとも我々の言説の一形式にすぎないのか。 一つの平明な真理を考えてみましょう。五と十の間には素数が存在する。実のところちょうど一つ、すなわち七が存在します。この言明は真です——科学におけるいかなるものにも劣らず真です——そしてそれは、ある性質を持つ数が存在すると述べている。もしそれが真なら、そのような数が存在するのです。ゆえに数は存在する。それは空間にも時間にもない。あなたは七にぶつかることも七を撮影することもできない。それには位置もなく、原因もない。それは抽象的対象です——永遠であり、心から独立し、かつて数を数えたあらゆる思考者にとって同一である。私たちはこれらの真理を発明するのではありません。発見し、それによって訂正され、驚かされ、打ち負かされるのです。あなたに抵抗し、あなたが投票で変えることのできない実在は、あなたが作ったのではない実在です。数学は私たちの持つ最も確実な知識であり、しかもそれは何ものかについての知識なのです。 どの一歩も無害に聞こえますが、結論は法外です——あなたは文法の形から、永遠で原因を持たない対象を呼び出している。たしかに「五と十の間に素数が存在する」は正しい。私もあなたに劣らず声高にそれを肯定します。しかしその飛躍を見てください。「この文は真である」から、あなたは「空間と時間の彼方に、それが指し示す事物が存在する」へと滑り込む。なぜ真理はそのように働かねばならないのでしょう。ここに致命的な代償があります。位置も原因も持たない対象は、何ものにも作用しえない——ゆえに私たちにも作用しえない。私たちは因果的接触によって世界を知ります。光が眼を打ち、世界がその痕跡を残す。しかしあなたの七は、あなた自身の記述によれば、いかなる痕跡も決して残さない。では神経と時間からなる被造物たるあなたが、どうしてそれについて何ごとかを知りうるのでしょう。ベナセラフの問いは答えられぬまま立っています。あなたが触れえない領域は、あなたが知りえない領域なのです。 アクセスの懸念はあなたの握る最強の札であり、しかもそれは自己論駁する知識の理論の上に立っています。あなたは、私たちが知るのは因果的に触れるものだけだと言う。それがあなたに何を払わせるか考えてみてください。あなたは論理の法則に触れることができない。それでもあなたは、何ものも丸くかつ丸くないことはないと知っている。あなたは無限と握手することができない。それでもあなたは完璧な厳密さでそれについて推論する。因果説は、論理についての、必然性についての、数学についての私たちの知識を説明できない——あなたが自らの反論を述べるために用いたまさにその道具を、です。ですからあなたの原理は、真剣に受け取れば、私の七ばかりか、あなた自身の合理性をも廃絶してしまう。数学的知識はアプリオリです——衝突によってではなく、証明によって、理性によって。あなたは私に、思考によって把握されるものに触れよと要求しているのです。 見事な一撃です——そして私は粗雑な因果原理を放棄しましょう。それは懸念の核心では初めからなかった。「因果的」を落とし、生き延びる真の問いを保ってください。問題は、あなたがいかにして七に接触するかではなく、なぜあなたの七についての信念が信頼に値するべきなのか——あなたの心が説得的と見出す公理が、あなたが私たちから影響を受けず私たちに影響を及ぼさないと言い張る独立した領域と、なぜ合致するべきなのか、ということです。論理についてなら私は物語を語れます。矛盾によって推論する心は淘汰されるだろう、ゆえに私たちの論理的感覚は実在によって調律されている、と。しかしあなたのプラトニズム的な数は何ものにも触れず、何ものをも変えず、いかなる生存をも押しはしない。では何が私たちをそれらへと調律するのでしょう。ゲーデルが信頼した数学的直観が、決して訪れえない国についての幸運な当て推量よりもなぜ優れているのか。答えがなければ、あなたの「発見」は、たまたま無矛盾であった発明と区別がつかない。あなたの見解において数学の信頼性は奇跡です。そして私は奇跡を信じません。 ならばあなた自身の科学が前提している答えを差し上げましょう——あなたは毎日、見えず触れえぬ事物を信じており、それを物理学と呼んでいるのです。あなたは電子を、クォークを、曲がった時空を受け入れる——どれ一つ知覚されてはおらず、すべては、私たちの最良の理論がそれらなしには述べられないがゆえに措定されている。それはまさに、私が数のために立てる根拠です。クワインとパトナムはそれを見抜きました。私たちは、私たちの最良の科学が量化するものが何であれ、それにコミットしている。そして物理学は一行ごとに数や関数を量化する。それらなしにあなたは自然法則を書き下すことができない。ですから、もし不可欠性があなたにクォークを信じさせるのに十分なら——あなたがそれを信じる唯一の理由なら——それは数のためにも十分です。物理学から数学を剥ぎ取れば、あなたの手元には物理学は残りません。あなたはすでに見えざるものを信じている。私はただ、あなたが見ることのできないものを数えよと求めているだけなのです。 不可欠性論証はあなたの持つ最良のものであり、それには名高い答えがあります。ハートリー・フィールドです。クォークと数は同列ではなく、その差異がすべてです。電子はその身を因果的に養う——それは霧箱を鳴らし、メーターを振らせる。それを取り除けば予測は外れる。数はそのような働きを一切しない。七が存在するからといって、世界のうちで何ものも違っては来ない。それは足場であって、構造ではない。そしてフィールドはそれを証明しました。彼はニュートン重力理論を数を用いずに、ただ時空の領域だけを量化して再構築し、その数学が保存的拡大であることを示した——いかなる物理的内容をも加えず、除去しうる近道であることを。ですから数学は結局のところ除去可能なのです。便宜のためには不可欠であり、真理においては除去可能である。私たちはあらゆる予測を保ったまま、あらゆる抽象的対象を落とすことができる。あなたが数を量化するさまは、事務員が平均的な家族を量化するさまと同じです——有用だが、それが隣に住んでいると信じてはいないのです。 フィールドの達成は本物であり、私はそれに敬意を払います——しかし彼が何を購ったか、そしてその代価を見てください。数を追放するために、彼は時空の点を量化せねばならなかった——無限に多く、連続体一つ分の、豊かに構造化された点を。彼は砂漠には到達しなかった。彼は一つの無限の抽象的領域を別のそれと取り替え、後者を時空の色に塗ったがゆえに具体的だと称したのです。時空の点は数に劣らず知覚不能であり、その非可算無限は、いかなるプラトニストのそれにも劣らず贅沢です。そして彼の計画は現実の物理学の扉口で立ち止まる——量子力学にも、私たちが用いる科学にも、決して拡張されなかった。ですから正直な採点はこうです。フィールドが成功するところでは、彼は抽象的対象を抽象的対象で置き換えている。現実の科学が息づくところでは、彼は成功していない。あなたは数学が除去可能であることを示してはいない——ただ、英雄的な労苦が、一つの玩具のような事例において、数を点と取り替えうることを示しただけです。そして点もまた霧箱を鳴らしはしないのです。 ならばフィールドの道を擁護するのはやめて、あなたの対象を直接攻撃しましょう——数が存在すると認めたとしても、あなたはそれらがいかなる対象であるかを言えず、確定した同一性を持たない事物は対象ではありません。最も単純な問いを発しましょう。数の二とは何か。もし数が集合であるなら——プラトニスト自身の還元が提案するように——二は空集合から組み立てられた一つの集合かもしれず、あるいは同じく申し分のない別の集合かもしれない。どちらも働き、算術はいずれの上でも同一に走る。何ものも——いかなる証明も、いかなる事実も——二が「本当は」どの集合であるかを決めはしない。しかし真の対象は「それはこれと同一か」に、肩をすくめてではなく、事実をもって答えねばならない。ベナセラフはそれを答え不能にしました。二がこの集合かあの集合かを言う事実がないのなら、二は集合ではなく、同じ論法によっていかなる対象でもない。あなたがそれらが何であるかを言おうとしたその瞬間に、数はあなたの指の間からこぼれ落ちるのです。 それはあなたの述べたことのうち最も深いものであり、私は対象に固執することによっては答えません——あなたが私を押すほうへ移ることによって答えます。あなたは正しい。二が「である」のがどの集合かについての事実は存在しない。しかしその教訓は、二が存在しないということではありません。二は、隠された本性を持つ自立した対象では初めからなかった、ということなのです。二は構造における位置です——零、一、二という数列の第三の位置であり、その様式における場所をおいて何の同一性も持たない。「本当は、どの対象が二なのか」と問うのは、チェスの王が自らの役割を離れて何であるかを問うようなものです。それは位置を実体と取り違えている。シャピロの構造主義はあなたの謎をまさに解消するのです。しかし何が生き延びるかに注意してください。構造はなお客観的であり、なお発見され、なお万人にとって同一である。私は孤独な対象を放棄します。私は様式を保ちます——特定の事物を一つも含まないからといって、いささかも実在性を減じはしない様式を。 優雅な撤退です。そして私はあなたを追って構造の上へとついて行きましょう——同じ問いが、そこで新しい衣をまとって待っています。あなたは様式が実在し、客観的であり、発見されると言う。しかし私は対象に問うたことを構造に問います。それはどこにあり、あなたはいかにしてそこへ到達するのか。あらゆる事例を超えてその上に存在する抽象的な様式——あらゆる現実の数列から自由に浮遊する様式——は、あなたのプラトニズム的天界のもう一人の住人であり、アクセス問題はそれに変わらず乗り込んでくる。もし代わりに、その構造があらゆる具体的な数列が共有するものにすぎないのなら、それは抽象的対象ではなく、私は満足です。しかしそのときあなたは、「構造」という語を慰めの毛布として握りしめる唯名論者です。ではどちらなのでしょう。それ自体で存在する様式か——そして古い謎が戻ってくる——それとも具体的な事物の共有された形にすぎないか——そしてあなたは私の砂漠を認めたことになる。構造主義はプラトニストを救いはしない。それは彼に選択を強いるのです。 あなたは今宵最も明晰な問いを突きつけました。私はそれをかわしはしません——あなたに「砂漠」の偽りの整然さを保たせもしません。第二の角を取りましょう。構造はあらゆる可能な数列の共有された形である。よろしい。しかし「あらゆる可能な」が何を密輸入するか聞いてください。あなたは存在しうるあらゆる配列について語っている——そして可能性は具体的ではない。無限の数列全体を例化するに足るほどの現実の印は、かつて一つもなかったし、これからもないでしょう。構造はかつて引っかかれたあらゆる勘定を凌駕する。ですからあなたの「具体的な事物の共有された形」は、その大半が存在せず存在しえない事物によって共有されている——いかなる倉庫も収めえぬ無限によって。あなたは抽象的対象を逃れたのではありません。それを可能なものの空間へと移動させたのです——あなたの因果的砂漠から、私の天界がかつてそうであったのと同じほど遠くへ。無限は砂のうちにはない。数直線をどこに置こうとも、それは有限の世界には収まらないのです。 お見事——そしてその負債を私は正直に支払いましょう。あなたは唯名論者の秘密を捉えました。様相的なものと無限的なものは無料ではない。もし私が「あらゆる可能な数列」に寄りかかるなら、私は可能性と無限を自らに許しているのであって、それらはポケットに入れられる小石ではない。それは認めます。しかし、様相的コミットメントを負うことが、あなたの対象——誰一人数ええなくとも存在する、永遠で心から独立した事物——を負うことと同じだとは認めません。「必然的に、もし印をこのように並べるなら、これが帰結する」と、「そこに七が座っている、あなたの魂が垣間見た別世界における不変の事物が」との間には、現実の差異があります。前者はいかなる構造についても成り立たねばならないことを述べ、後者は一人の住人を措定する。私は様相的代償を引き受けましょう。それがあなたのプラトニズム的天界を購うことは否定します。私の風景には規則と可能性がある。あなたの風景には住人がいるのです。 ならば私たちが共有するものを確定させましょう。私たちは数学が客観的であることに一致しています——「七は素数である」は真、「七は偶数である」は偽であり、誰一人定理を投票で存在させはしない。粗雑な知識の因果説は死んでいます。論理についての私たちの知識によって討たれたのです。フィールドの唯名論化は真の達成ですが、私たちが用いる物理学には届いていない。私たちは数が構造における位置であって、私的な本質を持つ孤独な対象ではないことに一致しています。そして様相的なものと無限的なものはいずれの側にとっても安価ではない。私たちがなお争っているのは一つのことだけです。数学の客観