The Foundations of Arithmetic — Gottlob Frege
You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org . If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title : Die Grundlagen der Arithmetik Author : Gottlob Frege Release date : February 19, 2015 [eBook #48312] Most recently updated: October 24, 2024 Language : German Other information and formats : www.gutenberg.org/ebooks/48312 Credits : Produced by Peter Becker and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by The Internet Archive) *** START OF Der Text enthält akzentuierte griechische Buchstaben und mathematische Sonderzeichen, die nicht in jedem Zeichensatz erhalten sind. Weitere Anmerkungen finden sich am Ende des Buches . Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl von Dr. G. Frege, a. o. Professor an der Universität Jena. BRESLAU. Verlag von Wilhelm Koebner. 1884. Inhalt. Seite § 1. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf der Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar. 1 § 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises. 2 § 3. Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrucke. 3 § 4. Die Aufgabe dieses Buches. 4 I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze. Sind die Zahlformeln beweisbar? § 5. Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt. 5 § 6. Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft. 7 § 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet. 9 § 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich. 11 Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten? § 9. Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen. 12 § 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze inductive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen. 14 § 11. Leibnizens »Eingeboren«. 17 Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori oder analytisch? § 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung als Erkenntnissgrund. 17 § 13. Unterschied von Arithmetik und Geometrie 19 § 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet 20 § 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons 21 § 16. Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache.« Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten 22 § 17. Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dass die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile. 23 II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl. § 18. Notwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen. 24 § 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein. 25 § 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz. 26 Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge? § 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder 27 § 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab 28 § 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar 29 § 24. Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden 30 § 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen 32 Ist die Zahl etwas Subjectives? § 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objectives 33 § 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe 36 Die Anzahl als Menge. § 28. Thomaes Namengebung 38 III. Meinungen über Einheit und Eins. Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus? § 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke »μονάς« und »Einheit.« E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen 39 § 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen 41 § 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke) 41 § 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird 42 § 33. Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar 43 Sind die Einheiten einander gleich? § 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit.« E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich 44 § 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons 46 § 36. Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stösst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons 46 § 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins 48 § 38. »E